Geometría fractal
1. Introducción
Los fractales se encuentran fácilmente en la naturaleza. Se observan en el brócoli, la coliflor, los helechos, las lineas costeras del Pacífico y más.
2. De la historia
La geometría fractal fue descubierta alrededor del año 1970, por el matemático polaco Benoit Mandelbrot. El estaba fascinado con los complejos patrones que veía en la naturaleza, pero no los podía describir por medio de la geometría euclídea: las nubes no eran esféricas, las montañas no eran conos, las líneas costeras no eran círculos, la bark de los árboles no era lisa, ni tampoco viajaban los rayos en líneas rectas. Entonces desarrolló el concepto y lo denominó "fractal", a partir del significado en Latín de esta palabra, que encontró en un libro de texto de su hijo. Fractal significa "fracturado, fragmentado o quebrado".
3. Patrones fractales
Los patrones fractales tienen dos características básicas:
- auto similitud (que significa que un mismo patrón se encuentra una y otra vez) y
- dimensiones fractales.
Esta dimensión fractal describe la relación entre los segmentos y la totalidad. Entre más cercano esté la forma de un fractal a una línea (dimensión 1), a un plano (dimensión 2) o a un objeto tridimensional, más cercano estará la dimensión fractal al número entero que describe su forma.
Hay dos clases de fractales: matemáticos y naturales (al azar). Los fractales encontrados en la naturaleza tiene una característica adicional: Son formados por procesos aleatorios. Como ejemplo, se pueden nombrar: los rayos, los deltas de los ríos, los sistemas de raíces y las líneas costeras.
La siguiente actividad se puede llevar a cabo en el aula para acercar a los alumnos a la geometría fractal. Se puede ver explicada de una forma más gráfica en la página: http://www.cientec.or.cr/matematica/actividad1.html
Paso 1: Un triángulo equilátero inscrito en un círculo (no mostrado) es la primera iteración de este patrón. El largo de cada lado es 1, el perímetro = 3.
Paso 2: Divida cada lado del triángulo en 3 partes iguales y dibuje otro triángulo equilátero en el segmento central.
Así resulta una estrella de seis esquinas como segunda iteración. Su perímetro = 3 x 4/3
Paso 3: En la tercera iteración del patrón,
P = 3 x 4/3 x 4/3.
Teóricamente usted puede repetir los pasos, dibujando triángulos equiláteros infinitamente.
Siga calculando el perímetro.
Lo interesante es notar que el perímetro sigue creciendo, conforme el copo crece, mientras que el área no sobrepasa la del círculo exterior.
Los fractales se encuentran fácilmente en la naturaleza. Se observan en el brócoli, la coliflor, los helechos, las lineas costeras del Pacífico y más.
2. De la historia
La geometría fractal fue descubierta alrededor del año 1970, por el matemático polaco Benoit Mandelbrot. El estaba fascinado con los complejos patrones que veía en la naturaleza, pero no los podía describir por medio de la geometría euclídea: las nubes no eran esféricas, las montañas no eran conos, las líneas costeras no eran círculos, la bark de los árboles no era lisa, ni tampoco viajaban los rayos en líneas rectas. Entonces desarrolló el concepto y lo denominó "fractal", a partir del significado en Latín de esta palabra, que encontró en un libro de texto de su hijo. Fractal significa "fracturado, fragmentado o quebrado".
3. Patrones fractales
Los patrones fractales tienen dos características básicas:
- auto similitud (que significa que un mismo patrón se encuentra una y otra vez) y
- dimensiones fractales.
Esta dimensión fractal describe la relación entre los segmentos y la totalidad. Entre más cercano esté la forma de un fractal a una línea (dimensión 1), a un plano (dimensión 2) o a un objeto tridimensional, más cercano estará la dimensión fractal al número entero que describe su forma.
Hay dos clases de fractales: matemáticos y naturales (al azar). Los fractales encontrados en la naturaleza tiene una característica adicional: Son formados por procesos aleatorios. Como ejemplo, se pueden nombrar: los rayos, los deltas de los ríos, los sistemas de raíces y las líneas costeras.
La siguiente actividad se puede llevar a cabo en el aula para acercar a los alumnos a la geometría fractal. Se puede ver explicada de una forma más gráfica en la página: http://www.cientec.or.cr/matematica/actividad1.html
Paso 1: Un triángulo equilátero inscrito en un círculo (no mostrado) es la primera iteración de este patrón. El largo de cada lado es 1, el perímetro = 3.
Paso 2: Divida cada lado del triángulo en 3 partes iguales y dibuje otro triángulo equilátero en el segmento central.
Así resulta una estrella de seis esquinas como segunda iteración. Su perímetro = 3 x 4/3
Paso 3: En la tercera iteración del patrón,
P = 3 x 4/3 x 4/3.
Teóricamente usted puede repetir los pasos, dibujando triángulos equiláteros infinitamente.
Siga calculando el perímetro.
Lo interesante es notar que el perímetro sigue creciendo, conforme el copo crece, mientras que el área no sobrepasa la del círculo exterior.
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Comentario por Beatriz Reyero el enero 11, 2009 a las 6:32pm - Interesante aclaración sobre lo que son los fractales, lo cual conocía sólo un poquito y que con esta pequeña explicación me han quedado mucho más claros. Gracias
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